Schwarz Scholes Modell BREAKING DOWN Schwarz Scholes Modell Das Black Scholes Modell ist eines der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Es wurde 1973 von Fisher Black, Robert Merton und Myron Scholes entwickelt und ist noch weit verbreitet im Jahr 2016. Es gilt als eine der besten Möglichkeiten, um faire Preise von Optionen bestimmen. Das Black Scholes-Modell benötigt fünf Eingangsgrößen: den Ausübungspreis einer Option, den aktuellen Aktienkurs, die Zeit bis zum Auslaufen, den risikofreien Zins und die Volatilität. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass die Aktienkurse einer logarithmischen Verteilung folgen, da die Vermögenspreise nicht negativ sein können. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass es keine Transaktionskosten oder Steuern gibt, wobei der risikofreie Zinssatz für alle Laufzeiten konstant ist, wobei Leerverkäufe von Wertpapieren unter Verwendung von Erträgen zulässig sind und keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten bestehen. Black-Scholes-Formel Die Black-Scholes-Call-Optionsformel wird durch Multiplikation des Aktienkurses mit der kumulativen Standard-Normalwahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion berechnet. Danach wird der Nettobarwert (NPV) des Ausübungspreises multipliziert mit der kumulativen Normalnormalverteilung von dem resultierenden Wert der vorherigen Berechnung subtrahiert. In der mathematischen Schreibweise ist C SN (d1) - Ke (-rT) N (d2). Umgekehrt könnte der Wert einer Put-Option nach folgender Formel berechnet werden: P Ke (-rT) N (-d2) - SN (-d1). In beiden Formeln ist S der Aktienkurs, K ist der Ausübungspreis, r ist der risikofreie Zinssatz und T ist die Zeit bis zur Fälligkeit. Die Formel für d1 ist: (ln (SK) (r (annualisierte Volatilität) 2 2) T) (annualisierte Volatilität (T (0,5))). Die Formel für d2 ist: d1 - (annualisierte Volatilität) (T (0,5)). Einschränkungen Wie bereits erwähnt, wird das Black Scholes-Modell nur zum Preis von europäischen Optionen verwendet und berücksichtigt nicht, dass amerikanische Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden können. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass Dividenden und risikofreie Zinsen konstant sind, aber dies kann in der Realität nicht wahr sein. Das Modell geht davon aus, dass die Volatilität über die Optionenlebensdauer konstant bleibt, was nicht der Fall ist, da die Volatilität mit dem Angebot von Angebot und Nachfrage schwankt. Monte Carlo Simulation mit GBM Eine der häufigsten Möglichkeiten zur Risikoabschätzung ist der Einsatz einer Monte-Carlo-Simulation (MCS). Um beispielsweise den Value at Risk (VaR) eines Portfolios zu berechnen, können wir eine Monte-Carlo-Simulation durchführen, die versucht, den wahrscheinlichsten Verlust eines Portfolios mit einem Konfidenzintervall über einen bestimmten Zeithorizont vorauszusagen Bedingungen für das VaR: Vertrauen und Horizont. (VAR) - Teil 1 und Teil 2.) In diesem Artikel werden wir eine grundlegende MCS auf einen Aktienkurs angewendet zu überprüfen. (Lesen Sie weiter, die Verwendung und Grenzen der Volatilität und Einführung in Value at Risk (VAR) Wir brauchen ein Modell, um das Verhalten des Aktienkurses festzulegen, und verwenden Sie eines der gebräuchlichsten Modelle in der Finanzierung: geometrische Brownsche Bewegung (GBM). Während die Monte-Carlo-Simulation auf ein Universum unterschiedlicher Ansätze zur Simulation verweisen kann, werden wir hier mit den einfachsten beginnen. Wo man anfängt Eine Monte-Carlo-Simulation ist ein Versuch, die Zukunft um ein Vielfaches vorauszusagen. Am Ende der Simulation, Tausende oder Millionen von zufälligen Versuche produzieren eine Verteilung der Ergebnisse, die analysiert werden können. Die grundlegenden Schritte sind: 1. Spezifizieren Sie ein Modell (zB geometrische Brownsche Bewegung) 2. Generieren Sie zufällige Versuche 3. Verarbeiten Sie die Ausgabe 1. Geben Sie ein Modell (zB GBM) In diesem Artikel verwenden wir die geometrische Brownsche Bewegung (GBM) Was technisch ein Markov-Prozess ist. Dies bedeutet, dass der Aktienkurs einer zufälligen Wanderung folgt und mit (zumindest) der schwachen Form der effizienten Markthypothese (EMH) übereinstimmt: Die vergangenen Preisinformationen sind bereits integriert und die nächste Kursbewegung ist bedingt unabhängig von den vergangenen Kursbewegungen . (Für mehr über EMH, lesen Sie Arbeiten durch die effiziente Markt-Hypothese und was ist Markt-Effizienz) Die Formel für GBM ist unten, wo S ist der Aktienkurs, m (die griechische mu) ist die erwartete Rendite. S (griechisches Sigma) ist die Standardabweichung von Renditen, t ist Zeit und e (griech. Epsilon) ist die Zufallsvariable. Wenn wir die Formel neu anordnen, um nur für die Änderung des Aktienkurses zu lösen, sehen wir, dass GMB sagt, dass die Änderung des Aktienkurses der Aktienkurs S multipliziert mit den beiden Begriffen innerhalb der Klammer unten ist: Der erste Begriff ist eine Drift und die zweite Begriff ist ein Schock. Für jeden Zeitraum geht unser Modell davon aus, dass der Preis durch die erwartete Rendite driftet. Aber die Drift wird schockiert (addiert oder subtrahiert) durch einen zufälligen Schock. Der Zufallsschock wird die Standardabweichung s multipliziert mit einer Zufallszahl e sein. Dies ist einfach eine Möglichkeit, die Standardabweichung zu skalieren. Das ist das Wesen von GBM, wie in Abbildung 1 dargestellt. Der Aktienkurs folgt einer Reihe von Schritten, wobei jeder Schritt ein Drift plusminus ein zufälliger Schock (selbst eine Funktion der Bestände Standardabweichung) ist:
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